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《线性代数》模拟题
1. 已知
，
求 
解：
2. 用克莱姆则求解方程组
解：
3.计算行列式
解：
4.求齐次线性方程组
，的基础解系以及通解。
解：对系数矩阵A作初等行变换，变为行最简矩阵，有
便得
即得基础解系
，
令
及
对应有
及
并由此得到通解
5. 计算 
解：
6.判断下列实矩阵能否化为对角阵？
解：由
得
将
代入
， 得方程组
解之得基础解系
同理，对
由 
求得基础解系
由于
，所以
线性无关
即A有3个线性无关的特征向量，因而A可对角化。
7.问
取何值时，齐次方程组
有非零解？
解：
若齐次方程组有非零解，则D=0
故：
，
或
时齐次方程组有非零解。
8.已知
，证明向量组
与
等价。
证明：要证存在2阶方阵X,Y,使
，
先求X.
类似于线性方程求解的方法，对增广矩阵
施行初等行变换变为行最简单矩阵：
即得：
因
，知
可逆，取
，即为所求。
因此向量组
等价。
9.设a,b为两个已知的n维向量，集合
，试判断集合是否为向量空间。
解：V是一个向量空间，因为若
则有
这个向量空间称为由向量a，b所生成的向量空间。
10.设
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。
解：取；
再把它们单位化，取
即合所求.
11.求一个正交变换
，把二次型
化为标准型。
解：二次型的矩阵为
它的特征多项式为
，
计算特征多项式：把二，三，四列都加到第一列上，有
把二，三，四行分别减去第一行，有
于是A的特征值为. 
当
时，解方程
，
得基础解系
，单位化即得
.
当
时，解方程
可得正交的基础解系
单位化即得
于是正交变换为
且有
12.计算行列式
解：按照第一行展开得：
13.已知向量组 线性无关，
，试证
线性无关。
证明：由于此方程组的系数行列式
故方程组只有零解
，所以向量组线性无关。
14.对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵
，使
为对角阵。
解：第一步 求A的特征值
得 
第二步 由
，求出A的特征向量
对
，由
， 得
解之得基础解系
对
由， 得
解之得基础解系
对
由
， 得
解之得基础解系
第三步 将特征向量正交化
由于
是属于A的3个不同特征值
的特征向量，故它们必两两正交
令 
第四步 将特征向量单位化
得 
作
则 
得特征值 
对
，由
， 得基础解系
对
由
， 得基础解系
，
恰好正交，
所以两两正交。
再将单位化，令得
，得
于是得正交阵 
则
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